瞻仰超人 ——读《爱因斯坦文集》(第一卷)之二十四
2020/12/14 17:56:38  点击率[14]  评论[0]
【法宝引证码】
    【学科类别】其他
    【出处】本网首发
    【写作时间】2020年
    【中文关键字】超人;爱因斯坦;《爱因斯坦文集》
    【全文】

      瞻仰超人
     
      ——读《爱因斯坦文集》(第一卷)之二十四
     
      左  明
     
      《几何学和经验》
     
      (1921年1月27日)
     
      “为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重,一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的,而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的,并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。尽管如此,要是数学的命题所涉及的只是我们想象中的对象而不是实在的客体,那末别的科学部门的研究者还是没有必要去羡慕数学家。因为,如果人们已经同意了基本命题(公理),以及由此导出其他命题的方法,那末,毫不奇怪,不同的人必定会得出同样的逻辑结论。但是数学之所以有高声誉,还有另外一个理由,那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性,没有数学,这些科学是达不到这种可靠性的。”
     
      至少鄙人就不会认为数学比其他一切科学应该受到特殊的尊重。
     
      数学不仅是逻辑自洽的,而且是绝对正确的。数学是一种极其特殊的科学:抽象而非具象的科学。其他一切科学的研究对象都是具体的,而数学的研究对象则是抽象的。
     
      数学的命题之所以“是绝对可靠的和无可争辩的”,是因为其得出命题的前提假设都是既定的、给定的、确定的。只要逻辑推演不出错误,那么结论就一定是正确的。
     
      其他一切科学的命题之所以“在某种程度上都是可争辩的”,是因为其研究对象自身的变化性和不确定性以及人类认知的有限性和不完全性。其他一切科学的命题不仅仅“是可争辩的”,更是可推翻的。这就不禁令人不寒而栗、唏嘘不已!
     
      数学的发展历程是添加和丰富,而其他一切科学的发展历程则是改变和颠覆。
     
      数学的研究对象,当然是建立在客观“实在”的基础之上的,而肯定不是来自于单纯的主观“想象”。即便如此,其他一切科学的研究者依旧“还是没有必要去羡慕数学家”。这是因为:数学的研究对象是抽象的“实在”(即已经被主观化了的客观),而其他一切科学的研究对象则是具体的“实在”(即尚未被主观化了的客观)。这是两种性质截然不同的“实在”。基于此,也就根本无法得出数学的研究者胜过、超越其他一切科学的研究者或者数学凌驾于、优越于其他一切科学的结论。
     
      与数学不同,其他一切科学所面临的共同难题——没有甚至不存在能够得到普遍共识的“基本命题(公理)”。尽管“由此导出其他命题的方法”是可以达成普遍共识的。其结果就必然是:相当正常,不同的人一定会得出不同的逻辑结论。
     
      愚以为:其他一切科学的“基本命题(公理)”,不仅不是出发点,反而就是目的地。这样的问题如果能够得到解决的话,那么其他的一切问题也就都迎刃而解了。
     
      有没有搞错!可靠性,这只是数学的自身属性。怎么可能因为利用了数学就能够将可靠性“给予”其他“精密自然科学”呢?数学不过就是其他“精密自然科学”运用的工具罢了,工具的性质怎么能够传导给、传递给目的的性质呢?
     
      我也认为:数学可以有很高的声誉。
     
      我当然会更加尊重那些探究客观实在的自然和人类社会的一般规律的科学。尽管数学是完美无瑕的。恰如我酷爱下棋(以计算力和想象力为主要表现的受既定规则支配的游戏),但我却绝对不会把棋艺给置于不恰当的高度之上。
     
      “在这里,有一个历来都激起探索者兴趣的谜。数学既然是一种同经验无关的人类思维的产物,它怎么能够这样美妙地适合实在的客体呢?那末,是不是不要经验而只靠思维,人类的理性就能够推测到实在事物的性质呢?”
     
      能够“激起探索者兴趣的谜”,应该是真实的,而不应该是虚假的。
     
      数学绝对不是什么凭空想象的产物,那又怎么可能“同经验无关”呢?甚至,宗教也是如此。
     
      人的一切思维都必定与经验相关。
     
      数学到底是否“能够这样美妙地适合实在的客体”,取决于人的抽象的能力和效果——是否与“实在的客体”完美匹配。
     
      中国古训:巧妇难为无米之炊。思维仅仅是手段,经验方可谓素材。此二者缺一即不能发现“实在事物的性质”。
     
      尽管“推测”也有可能会发现“实在事物的性质”,但却不应该把所有的希望都寄托在“推测”之上。“推测”的原点、起点,肯定不能还是、也是“推测”。
     
      “照我的见解,这问题的答案扼要说来是:只要数学的命题是涉及实在的,它们就不是可靠的;只要它们是可靠的,它们就不涉及实在。我觉得,只有通过那个在数学中叫做‘公理学’的趋向,这种情况的完全明晰性才成为公共财产。公理学所取得的进步,在于把逻辑-形式同它的客观的或者直觉的内容截然地划分开来;依照公理学,只有逻辑-形式才构成数学的题材,而不涉及直觉的或者别的同逻辑-形式有关的内容。”
     
      依我的见解,数学是一个独立于客观实在之外的虚拟王国。数学的命题不意味着客观实在,但却有可能映射客观实在。
     
      爱因斯坦所谓的“涉及”,语义比较含混,未能把问题说清楚、讲透彻。
     
      我觉得,“那个在数学中叫做‘公理学’”的,其含义不过就是:数学是一个以不容置疑的公理为基础而建构起来的自我封闭、与世隔绝的自洽体系。
     
      没错!数学的“逻辑-形式”与“它的客观的或者直觉的内容” 是“截然地划分开来”的,而且,“只有逻辑-形式才构成数学的题材”,但是,却不能因此而得出数学“不涉及直觉的或者别的同逻辑-形式有关的内容”。请问:如果没有了“客观的或者直觉的内容”的话,那又何来“逻辑-形式”呢?
     
      “大家都知道什么是直线,什么是点。这种知识究竟是来自人类的一种精神能力还是来自经验,是来自这两者的某种结合还是来自其他来源,这不是由数学家来决定的。他把这问题留给哲学家。上述这条公理,是以这种先于一切数学的知识为依据的,它象别的一切公理一样,是自明的,就是说,它是这种先验知识的一个部分的表述。”
     
      人们到底是根据什么“知道什么是直线,什么是点”的?当然是根据经验。不过,经验又肯定是建立在思维能力(我不太清楚“精神能力”到底是什么意思)的基础之上的。换言之:经验与思维能力并不是“某种结合”的关系。
     
      这个答案既不是“由数学家来决定的”,也不是“留给哲学家”就能够得出的。
     
      除了“这种”知识之外,其他“先于一切数学的知识”,还有很多、很多。其他的几何学公理和“别的一切公理”(其实也并不限于——公理),其中很多都是以这样的知识为依据而形成的。它们都是不证“自明”的,但却都不是“先验”——先于经验的。
     
      “几何学所处理的对象是以直线、点等等这类词来表示的。对于这些对象并不需要假定有任何知识或直觉,而只是以公理(如上述的那样一条公理)的有效性为前提,这些公理是在纯粹形式意义上来理解的,即丝毫没有任何直觉的或经验的内容。这些公理是人的思想的自由创造。几何学的其他一切命题都是公理的逻辑推论(这里公理只是从唯名论的意义上来理解的)。几何学所处理的对象是由公理来定义的。施利克因此在他的一本关于认识论的书中,非常恰当地把公理说成是‘隐定义’。”
     
      前文已述,“直线、点等等这类词”——这些知识都是来源于经验的。知识之中的一部分又是来源于直觉的。认识、理解几何学的研究对象,当然需要经验和直觉。
     
      公理的“有效性”,仅仅是判断的结果,而不是知识的来源。
     
      理解公理,当然不能仅限“在纯粹形式意义上”,而也应该包括在实质意义上。正是在这个意义上,公理不可能“丝毫没有任何直觉的或经验的内容”。
     
      公理的形式,肯定是人的自由思想的产物。而公理的实质,则必定不是人的自由思想的产物。
     
      在以逻辑推理为构建原理的所有知识体系中,毫无疑问,“其他一切命题都是公理的逻辑推论”。
     
      用公理去定义其他的命题,符合由逻辑推理构建自身体系这一前设条件。正是基于此,公理不应该被“说成是‘隐定义’”,而应该说成是——元定义。
     
      “现代公理学所提倡的这种公理观点,清洗掉数学中一切外附的因素。因而也驱散了以前笼罩着数学基础的那团神秘的疑云。但是这样一种修正了的对数学的解释,也弄明白:这样的数学,对于我们的直觉对象或者实在客体,不能作出任何断言。在公理学的几何中,‘点’、‘直线’等词只不过代表概念的空架子。至于给它们以什么内容,那是同数学无关的。”
     
      我晕!难道这只是“现代公理学所提倡”的“公理观点”吗?难道古代公理学就不提倡这样的公理观点了吗?
     
      数学的研究对象,仅仅是客观实在的抽象,而不是客观实在的具体。数学,仅仅是抽象表达,而不是具体所指。数学,用抽象取代了从而“清洗掉”了、“也驱散了”具体。
     
      爱因斯坦所谓的“数学中一切外附的因素”,其实不过就是具体的客观实在罢了,怎么就成为“以前笼罩着数学基础的那团神秘的疑云”了呢?
     
      这怎么能够被认为是“一种修正了的对数学的解释”呢?这分明就是数学与生俱来、从未改变的自身特质。
     
      所有能够理解数学本质的人,早就已经弄明白了:具有抽象属性的数学,对于所有的客观实在(而非人的直觉)——“不能作出任何”具体判断。
     
      所有的数学概念,当然都是真东西了,而不是“空架子”。至于给它们赋予什么具体的现实意义,那完全就与数学无关了。
     
      “然而另一方面也是确定无疑的,一般地说来,数学,特别是几何学,它之所以存在,是由于需要了解实在客体行为的某些方面。几何这个词本来的意思是大地测量,就证明了这一点。因为大地测量必须处理某些自然对象(即地球的某些部分、量绳、量杆等)彼此之间各种排列的可能性。仅有公理学的几何概念体系显然不能对这种实在客体(以后我们称之为实际刚体)的行为作出任何断言。为了能够作出这种断言,几何学必须去掉它的单纯的逻辑形式的特征,应当把经验的实在客体同公理学的几何概念的空架子对应起来。要做到这一点,我们只要加上这样一条命题:固体之间的可能的排列关系,就象三维欧几里得几何里的形体的关系一样。这样,欧几里得的命题就包含了关于实际刚体行为的断言。”
     
      所有的科学门类,其实都是出于现实主义、功利主义的目的而出现、存在的。
     
      科学不同于不可探知、不能深究的宗教,科学的真谛就是去探知、深究客观实在的本质。
     
      如果说几何一词的本意是大地测量的话,那么算数一词的本意就有可能是——计算数量。其他的科学门类,以此类推,尽皆如此,都具有现实的功能性。
     
      数学的最大特点就是抽象,而且已经发展到了绝对抽象的地步。科学的表现是阐释一般规律,而不是进行个体描述。这就决定了其他的科学门类也都或多或少的具有抽象的属性。
     
      抽象的结论,仅具有抽象的价值。要想对特定的客观实在作出具体的判断,就需要将抽象的结论转化为具体的判断。这样的转换当然无需“去掉它(即某个科学门类——笔者注)的单纯的逻辑形式的特征”,而只需“把经验的实在客体同公理学的几何(也包括任何其他的科学门类——笔者注)概念的空架子对应起来”。要做到这一点,其实相当简单:只需把抽象的概念赋予具体的内容就可以了,而根本无需添加什么命题。
     
      科学的结论,在满足了所有的转换条件的情况下,就可以转化为现实的判断。
     
      “这样建成的几何学显然是一种自然科学;事实上我们可以把它看作是一门最古老的物理学。它的断言实质上是以经验的归纳为根据的,而不单单是逻辑推理。我们应当把这样建成的几何学叫做‘实际几何’,下面还要把它同‘纯粹公理学的几何’区分开来。宇宙的实际几何究竟是不是欧几里得几何,这个问题有明白的意义,其答案只能由经验来提供。如果人们运用光是沿直线传播的这条经验定律,而且事实上光是以实际几何意义上的直线在传播的,那末物理学中一切长度的量度就构成了这种意义上的实际几何,测地学和天文学上的长度量度也是如此。”
     
      我晕!难道在原来的几何学之外又建成了一个属于自然科学的几何学吗?
     
      几何学,当然有且只有一个(其实就是“纯粹公理学的几何”)!它从属于数学,它不是自然科学(就更不可能是“最古老的物理学”了),因为它不以客观实在的自然现象为研究对象。数学的研究对象是:经过抽象了的客观实在。数学不属于自然科学。
     
      很多数学命题“实质上是以经验的归纳为根据的”,尽管另有很多数学命题来自于“逻辑推理”。
     
      肯定有“实际”,但却只有几何学(其实就是“纯粹公理学的几何”),而根本就没有什么“实际几何”学。几何学只是实际的映射、投照。
     
      可以肯定的是:欧几里得几何学是符合“宇宙的实际”的。有待探究的是:欧几里得几何学未必是符合宇宙的全部实际的。人们对于欧几里得几何学的态度,不是予以否定,而且需要发展,因为人们对宇宙的认识有可能会更深、更广。如果基于对实际认知而形成的经验不断拓展,那么来自于经验的几何学也就不可能不相应前进。
     
      在这个世界上,根本就没有“宇宙的实际几何”,而只有是否符合宇宙实际的几何。因此,“宇宙的实际几何究竟是不是欧几里得几何”,这只是一个伪问题。
     
      光到底是“沿直线传播的”,还是“以实际几何意义上的直线在传播的”,这就是一个需要科学探索的实际问题(其实就是“经验”与“事实”是否相符)。并不能基于这两种答案或者两种可能而构建出两种不同的几何学。
     
      爱因斯坦所谓的“实际几何”,不过就是对几何学的内容的突破和发展罢了,而并没有根本改变几何学的原本意义,也并没有派生出崭新意义的学科。
     
      “我特别强调刚才所讲的这种几何学的观点,因为要是没有它,我就不能建立相对论。”
     
      好一个“这种几何学”!
     
      爱因斯坦只是超越了原有几何学的内容,但却没有也不能超越几何学本身的属性。
     
      接下来,爱因斯坦的长篇大论都是与物理学的内容密切相关的。我完全不能理解。
     
      “我今天唯一的目的是要指出,人的形象思维对于非欧几里得几何决不注定是无能为力的。”
     
      如果几何学与欧几里得几何不是同义词的话,那么所谓的非欧几里得几何也就可以成为几何学的组成部分。
     
      形象思维不是抽象思维的对立面。形象思维是几何学的核心和基础。
     
      2020.11.11.于首都师范大学本部教师公寓

    【作者简介】

    左明,北农讲师。


    本网站文章仅代表作者个人观点,不代表本网站的观点与看法。
    转载请注明出自北大法律信息网
0
北大法律信息网
www.chinalawinfo.com
法律动态
网站简介
合作意向
网站地图
资源导航
版权声明
北大法宝
www.pkulaw.cn
法宝动态
法宝优势
经典客户
免费试用
产品服务
专业定制
购买指南
邮件订阅
法律会刊
北大英华
www.pkulaw.com
英华简介
主要业务
产品列表
英华网站
联系我们
用户反馈
返回顶部
二维码